Значение слова экстремум

ЭКСТРЕМУМ (от лат. extremum - крайнее) см. Максимум и минимум.

(от лат. extremum ≈ крайнее), значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х0 функция f (x) имеет в x0 максимум (минимум), если существует окрестность (x0 + d, x0 ≈ d) этой точки, содержащаяся в области определения f (x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x0), ³ f (x) [соответственно, f (x0) £ f (x)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x0) > f (x) [или f (x0) << f (x)] при х ¹ x0, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае ≈ о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В ≈ нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x) имела Э. в некоторой точке x0, необходимо, чтобы она была непрерывна в x0 и чтобы либо f`(x0) = 0 (точка А на рис. 1), либо f`(x0) не существовала (точка С на рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки x0 производная f"(x) слева от x0положительна, а справа отрицательна, то f (x) имеет в x0 максимум; если f"(x) слева от x0 отрицательна, а справа положительна, то ≈ минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f"(x) не меняет знака при переходе через точку x0, то функция f (x) не имеет Э. в точке x0 (точки D, Е и F на рис. 1). Если f (x) в точке x0 имеет п последовательных производных, причём f"(x0) = f``(x0) =...= f (n-1) (x0)=0, a f (n)(x0)¹0, то при п нечётном f (x) не имеет Э. в точке x0, а при п чётном имеет минимум, если f (n) (x0) > 0, и максимум, если f (n) (x0) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции .

Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х0, y0) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f"x = f"y = 0,

D = f" xx f" уу> 0,

то f (x, у) в точке М имеет Э. (максимум при f"xx < 0 и минимум при f"xx > 0); Э. в точке М не существует, если D < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4).

Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы

Sni, k=1 aikDxiDxk

где aik ≈ значение f"xixkв исследуемой точке. См. также Условный экстремум .

Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении .

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Экстремум может означать:

• Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
• ОДС «Экстремум» — объединение добровольцев-спасателей.

Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве . Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум .